じゃんけんの数学

janken.xlsx (Excel2010)

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じゃんけんの参加人数をn人、グー、チョキ、パーを出す確率をa, b, c とする。

[全員同じ手を出すあいこ] = an + bn + cn
[勝負が決まる]
=
[全員が同じある1種類の手を出さない]
=
[全員が同じある1種類以上の手を出さない] + 2 ・ [全員同じ手を出すあいこ]
= (1-a)n + (1-b)n + (1-c)n - 2 ・ ( an + bn + cn )
[あいこ] = 1 - (1-a)n - (1-b)n - (1-c)n + 2 ・ ( an + bn + cn )
[3種の手が出るあいこ] = 1 - (1-a)n - (1-b)n - (1-c)n + ( an + bn + cn )

a = b = c = 1/3のとき、
[全員同じ手を出すあいこ] = 31-n
[勝敗が決まる] = (2n - 2) ・ 31-n
[あいこ] = 1 - (2n -2) ・ 31-n
[3種の手が出るあいこ] = 1 - (2n -1) ・ 31-n

n
人で勝敗がつくまでじゃんけんをしたとき、回数 k 以内で勝敗が決まる確率を、勝敗既決定確率 p = p ( k ) とし、またq ( k ) = 1 - p ( k ) とする。
p (k) = 1 - q (k) = 1 - { 1 - (1-a)n - (1-b)n - (1-c)n + 2 ・ ( an + bn + cn ) }k
q (k) = q (1)k
k = log (q (k)) / log q (1)
= log (1 - p (k)) / log q (1)
= log (1 - p ) / log {1 - (1-a)n - (1-b)n - (1-c)n + 2 ・ ( an + bn + cn) }

a=b=c=1/3



a, b, c に偏りがあると勝負がつきやすくなる

a=0.4, b=0.25, c=0.35